最終更新:2016/05/22
東リ 洗える遮熱糸ミラーレースカーテン KSA-1422 日本製 サイズ 巾200cm×133cm 約2倍ヒダ 三ツ山 両開き仕様 Aフック (カラー:アイボリー 巾100cm×133cm 2枚組)ギフト:ハートドロップキャスコ KASCO シルキーフィット GF-14251 1プレゼント0枚セット[ゴルフ用品 ゴルフグローブ golf メンズ ゴルフ用手袋 ゴルフ手袋 アクセサリー gdo ゴルフ]:GDOゴルフショップ 店JIC magic プロフィット贈答品 ダウンサスペンション X-MAGIC H100870 ニッサン スカイライン HR34/ER34 RB20/25DE(T) 1998年05月〜:オートパーツエージェンシー 15 x Quantity of Hubsan X4 H107D+ Plus Card リーダー HM-LM180D01-Z-19 Micro SD Card リーダー Uギフトp to 32GB - ファスト FROM Orlando, フロリダ USA! (海外取寄せ品):シアター【USA在庫あり】 089180 06-0770 コブラ贈り物 COBRA ドライブベルトガード 11年以降 ストライカー XVS1300C:株式会社ヒロチー商事 店 0931-0556 KA5637 LA スリーブ LA Sleeve シリンダー スリーブ ACタイオンラインショッピングプ 72mmボア 06年-13年 KLX250S:株式会社ヒロチー商事 店販売プレゼント店 デサント ドライ トランスファー トレーニングジャケット 16FW トップス DAT-1653-SRED (Sレッド×ブラック×レッド):オオミヤスポーツ 店 [5-3296-07] ステンレスふるい400×100 45mm 5329607【送料無料】:測定器・工プレゼント具のイーデンキ 【16秋冬】FOOTJOY(フットジョイ)FJ-F16-O51 チェック柄 撥水 フルジップ ラインフード ジャケットヨネックス:アクシスR&Dゴルフ 【送料無料】MOMOステアリングレース350mm R−11(キャンセル・返品・交換通販不可品)★税抜5000円以上で送料無料★激安祭【smtb-s】:あひるのドラッグZERO スーパーフロアマット (プレミアムスタンダード) NISSAN 日産 贈り物マーチ K11 H4/1-H14/2:東京流通センター 店M贈り物TrT販売店 エントリーで10倍_(業務用100セット) プラス ツインリング ノート RT-030-4P セミB5 4冊_送料無料:CoCo RARE 店 TIFFANY&CO.(ティファニー) カラー バイ ザ ヤード ブレスフラグメントレット【新品】SILVER 269-000215-012x:Cliff Edge マ通販ンチェスターユナイテッド 17-18 ホーム 半袖 ユニフォーム【adidas/アディダス】【サッカー ウエア レプリカユニフォーム】【スポーツ ホビー】:fcFA スポーツ&ホビー館 【送料無料】ニューA4 ファイリングキャビネット3段 WKW−LCAR3−WHC(キャンセル・返品・交換不可品)★全品ポイント10倍!(P10倍)★★税抜5000円以上で送料無料★通信販売激安祭【smtb-s】:ゲンキー アビーロード [AP-01-L6320]「直送」工具【代引不可・他メーカー同梱不可】 【キッズコーナー用品】プレイスクエアー ベンチ【送料無料】:測定器・工具のイーデンキ 【代引手数料無料】興和 LUPINUS 大型スタンドライト EK320-WH2 ホワイト E439573H【納期目安:2週間】:激安贈答品!家電のタンタンショップ サカエ(SAKAE) [SEL-1890PR] 「直送」【代引不可・他メーカー同梱不可】「車上渡し」 軽量作業台SELタイプ移動式 SEL1890PRショッピング:測定器・工具のイーデンキ販ショッピング売店 RG/レーシングギア クラッチカバー・ディスクセット メタルディスク RM-017301 ミツビシ ミラージュ CJ4A 4G92 1995年10月〜2000年06月:オートパーツエージェンシー2号店【送料無料】CAPTAIN STAG オーク バーベキューコンロ(LL)(キャスター付)贈り物 M-6440:おひさまくらぶ16-17 サロモン Salomon QST PRプレゼントO 110W スキーブーツ ウォークモード オールマウンテン レディース (-):L39153800[pt3]:パドルクラブアーブラ販売店 フレキシー リチウム赤 023-09B:アルクネット (業務用10セット) ジョインテックお歳暮ス スライドクリップ S 250個 B001J-250 ×10セット:アスリートトライブ販売透明マット 店 【送料無料】こたつ机 長方形105x60×39cm(スベリ止め付き) a-life shop こたつテーブル シンプル おしゃれ モダン:A-life Shop エントリーで10倍_再生デスクマット 【EMタイプギフトW/1.5mm厚】 1195mm×695mm 下敷付き 両面非転写 反射防止 環境配慮型 ミワックス REM-127W_送料無料:CoCo RARE 店 防水形デジタル式上皿自動はかり 5g/5000g UDSギフト-210W-5K ヤマト:工具屋のプロ 店 【送料無料】HI DISC HD DRAM120 3X 5P DVD-RAM録画用 120min 繰り返し録画用 デジタル放送CPRM対応 3倍速対応 片面 カートリッジなし 1枚インクリボン×100個セット HD-DRAM120-3X1P×100P 【smtb-u】【送料込み】/スポーツ/記念/撮影/録画/記録【10P03Dec16】:MCO店 アズワン AS ONE LEDライトNLM13SG-AC 2-9629-01 [A通信販売100609]:DAISHIN工具箱 店 テストー テストー通信販売 スティック型表面温度計 TESTO905-T2:家電のタンタンショップ プラス 【シロクマ】レバーハンドル SL-325 ヒース(亜鉛合金) 標準丸座LX錠付玄関錠ゴールド塗装仕上 [SL-325-R-GC通販-G] sl325rgcg:おうちまわり 店 いつでもポイント10倍! 納期約1ヶ月 ツヨロン 操作棒 RK-605C:JB To贈り物ol Umi Kids ウミ レディース 女性用 シューズ 靴 サンダル フラット Umi Kids ウミ Meda 通販II (Little Kid) - Fuchsia:【I LOVE LA】 通信販売2輪 アクティブ DNA モトフィルター RK-2004 JAN:4538792463803 カワサキ KX450F 2004年〜2005年:オートパーツエージェンシー2号店ドッカンバトル 豊富なドッカンバトル 豊富な,最新作 [5g69X00q005135] : 新作,最新作 [5g69X00q005135] : 新作, 得価Mブランド品TrT販売店 【送料無料】ポータブルトイレFX-CPH アロン化成 4217 暖房便座 ちびくまくん ノーマル ピンク【HLS_DU】【RCP】P15Aug15:SBN21 品番:550-50■Silky 鋸■ゲンキ手曲通販 500mm■■シルキー ノコギリ★全商品取り扱い迅速納品★ユーエム工業☆Made in JAPAN saw:伊勢桑名在 村正 刃物店 [五月人形][豊臣秀吉][兜]華季節の鉢植え 花ギフト あじさい シクラメン グズマニア アンスリューム グラマトフィラム山[収納飾り]花梨艶塗[40cm][幅40cm][sb-128-47]:クロスリー・スタイルスノーピーク (sアパレルnow peak) シュラフ/セパレートオフトンワイド 1400/BDD-104 【SP-SLPG】:SNB-SHOP 【中古】【エフェクター】【ME-25】BOSS ボスエフェクター【商品ランク】☆☆☆☆/中古優良品/細かなキズやテカリ、汚れがありますが、多少の使用感のみで状態の良い中古品です。【63】:ワンダ買い物ーレックス 店 カリラ 25年 並行※こちらは出荷ま通販で2-3営業日お時間を頂戴致します。※こちらは並行品につき画像と異なる場合がございます。:信濃屋 「August」ソファ 1人掛【バラ】 A529-S(代引不可)プレゼント【送料無料】【smtb-f】:リコメン堂インテリア館 【BE-EPD632】【26インチ】【中古】【自転車】【中古自転車】【中古自転車 神戸】【リチウム】【電動アシスト自転車】オンラインショッピング【電動自転車】パナソニック  リチウムvivi  黒 【76A3038】【N8533】:いーちゃり【送料無料】PINGEL 1/4 レーシングギフトコック メーカー品番:6110-AH 1個:パーツダイレクト店
分野: 解析  レベル: 大学数学

階乗 $n!$ の $n$ を正の整数でない部分にも定義できるように一般化した概念としてガンマ関数というものがある。


階乗の一般化であるガンマ関数の定義と基本的な性質を整理しました。

ガンマ関数の定義

定義はけっこうややこしいです,我慢して下さいm(__)m

実部が正であるような複素数 $z$ に対してガンマ関数 $\Gamma(z)$ を以下のように定義します:
$\Gamma(z)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt$

これは積分区間の上端が$+\infty$ であり,高校数学では扱いません。広義積分と呼ばれます。

さらに,実部が負であるような複素数に対しても解析接続というものを使ってガンマ関数の値を定義することができます(ただし,非正整数の部分では定義できない)。

正の実数に対してガンマ関数をプロットした図を示します。 $x$ の増加とともに $\Gamma(x)$ の値は爆発的に増えていきます。

階乗の一般化であること

ガンマ関数の定義では広義積分を使っていて一見複雑そうですが,実はガンマ関数は階乗の一般化になっています。

任意の正の整数 $n$ に対して, $\Gamma(n+1)=n!$

$1$ ズレることに注意して下さい。

これは部分積分を使って簡単に証明することができます。

証明

$\Gamma(1)=\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-t}dt=[-e^{-t}]_0^{\infty}=1$

また,任意の正の整数 $n$ に対して,
$\Gamma(n)=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{n-1}e^{-t}dt\\
=[-t^{n-1}e^{-t}]_0^{\infty}-\int_0^{\infty}\{-(n-1)t^{n-2}e^{-t}\}dt\\
=0+(n-1)\int_0^{\infty}t^{n-2}e^{-t}dt\\
=(n-1)\Gamma(n-1)$

以上より $\Gamma(n+1)=n!\Gamma(1)=n!$ となる。

高校数学ではとりあえず便利だから $0!=1$,と定義されますが,$\Gamma(1)=1$ となることからも $0!=1$ とするのが自然だと言うことが分かります。

1/2でのガンマ関数の値

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\sqrt{\pi}$

これはガウス積分を使うことで簡単に導出できます。→ガウス積分の公式の2通りの証明

証明

$\Gamma(\dfrac{1}{2})=\displaystyle\int_0^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt$
ここで $t=u^2$ と置換すると,上式は
$\displaystyle\int_0^{\infty}u^{-1}e^{-u^2}2udu\\
=2\int_0^{\infty}e^{-u^2}du\\
=\sqrt{\pi}$

また,先ほどの部分積分を用いた議論により,$\Gamma(x)=(x-1)\Gamma(x-1)$ が $x$ が $1$ より大きい任意の実数のときに成り立つので,$\Gamma(n+\dfrac{1}{2})$ の値を求めることができます。

例えば,$0.5!$ に相当する値 $\Gamma(\dfrac{3}{2})$ は
$\Gamma(\dfrac{3}{2})=\dfrac{1}{2}\Gamma(\dfrac{1}{2})=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$ であることが分かります。

その他

・大学入試にも役立つ積分公式としてベータ関数の積分公式というものを紹介しましたが,ベータ関数とガンマ関数には深い関係があります。

・階乗を近似する公式としてスターリングの公式を紹介しましたが,スターリングの公式は正の整数以外でも使えます。

高校時代,アルファベットの $T$(ティー)とギリシャ文字の $\Gamma$(ガンマ)を読み間違えて苦労したことがあります。
分野: 解析  レベル: 大学数学